Preimage of a Finset under an injective map.

noncomputable def Finset.preimage {α : Type u} {β : Type v} (s : Finset β) (f : α → β) (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) : Finset α

Preimage of s : Finset β under a map f injective on f ⁻¹' s as a Finset.

Equations

• Finset.preimage s f hf = Set.Finite.toFinset ⋯

@[simp]

theorem Finset.mem_preimage {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} {s : Finset β} {hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)} {x : α} : x ∈ Finset.preimage s f hf ↔ f x ∈ s

@[simp]

theorem Finset.coe_preimage {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (s : Finset β) (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) : ↑(Finset.preimage s f hf) = f ⁻¹' ↑s

@[simp]

theorem Finset.preimage_empty {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} : Finset.preimage ∅ f ⋯ = ∅

@[simp]

theorem Finset.preimage_univ {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} [Fintype α] [Fintype β] (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑Finset.univ)) : Finset.preimage Finset.univ f hf = Finset.univ

@[simp]

theorem Finset.preimage_inter {α : Type u} {β : Type v} [DecidableEq α] [DecidableEq β] {f : α → β} {s : Finset β} {t : Finset β} (hs : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) (ht : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑t)) : Finset.preimage (s ∩ t) f ⋯ = Finset.preimage s f hs ∩ Finset.preimage t f ht

@[simp]

theorem Finset.preimage_union {α : Type u} {β : Type v} [DecidableEq α] [DecidableEq β] {f : α → β} {s : Finset β} {t : Finset β} (hst : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑(s ∪ t))) : Finset.preimage (s ∪ t) f hst = Finset.preimage s f ⋯ ∪ Finset.preimage t f ⋯

@[simp]

theorem Finset.preimage_compl {α : Type u} {β : Type v} [DecidableEq α] [DecidableEq β] [Fintype α] [Fintype β] {f : α → β} (s : Finset β) (hf : Function.Injective f) : Finset.preimage sᶜ f ⋯ = (Finset.preimage s f ⋯)ᶜ

@[simp]

theorem Finset.preimage_map {α : Type u} {β : Type v} (f : α ↪ β) (s : Finset α) : Finset.preimage (Finset.map f s) ⇑f ⋯ = s

theorem Finset.monotone_preimage {α : Type u} {β : Type v} {f : α → β} (h : Function.Injective f) : Monotone fun (s : Finset β) => Finset.preimage s f ⋯

theorem Finset.image_subset_iff_subset_preimage {α : Type u} {β : Type v} [DecidableEq β] {f : α → β} {s : Finset α} {t : Finset β} (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑t)) : Finset.image f s ⊆ t ↔ s ⊆ Finset.preimage t f hf

theorem Finset.map_subset_iff_subset_preimage {α : Type u} {β : Type v} {f : α ↪ β} {s : Finset α} {t : Finset β} : Finset.map f s ⊆ t ↔ s ⊆ Finset.preimage t ⇑f ⋯

theorem Finset.image_preimage {α : Type u} {β : Type v} [DecidableEq β] (f : α → β) (s : Finset β) [(x : β) → Decidable (x ∈ Set.range f)] (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) : Finset.image f (Finset.preimage s f hf) = Finset.filter (fun (x : β) => x ∈ Set.range f) s

theorem Finset.image_preimage_of_bij {α : Type u} {β : Type v} [DecidableEq β] (f : α → β) (s : Finset β) (hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s) : Finset.image f (Finset.preimage s f ⋯) = s

theorem Finset.preimage_subset {α : Type u} {β : Type v} {f : α ↪ β} {s : Finset β} {t : Finset α} (hs : s ⊆ Finset.map f t) : Finset.preimage s ⇑f ⋯ ⊆ t

theorem Finset.subset_map_iff {α : Type u} {β : Type v} {f : α ↪ β} {s : Finset β} {t : Finset α} : s ⊆ Finset.map f t ↔ ∃ u ⊆ t, s = Finset.map f u

theorem Finset.sigma_preimage_mk {α : Type u} {β : α → Type u_1} [DecidableEq α] (s : Finset ((a : α) × β a)) (t : Finset α) : (Finset.sigma t fun (a : α) => Finset.preimage s (Sigma.mk a) ⋯) = Finset.filter (fun (a : (a : α) × β a) => a.fst ∈ t) s

theorem Finset.sigma_preimage_mk_of_subset {α : Type u} {β : α → Type u_1} [DecidableEq α] (s : Finset ((a : α) × β a)) {t : Finset α} (ht : Finset.image Sigma.fst s ⊆ t) : (Finset.sigma t fun (a : α) => Finset.preimage s (Sigma.mk a) ⋯) = s

theorem Finset.sigma_image_fst_preimage_mk {α : Type u} {β : α → Type u_1} [DecidableEq α] (s : Finset ((a : α) × β a)) : (Finset.sigma (Finset.image Sigma.fst s) fun (a : α) => Finset.preimage s (Sigma.mk a) ⋯) = s

theorem Finset.sum_preimage' {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type x} [AddCommMonoid β] (f : α → γ) [DecidablePred fun (x : γ) => x ∈ Set.range f] (s : Finset γ) (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) (g : γ → β) : (Finset.sum (Finset.preimage s f hf) fun (x : α) => g (f x)) = Finset.sum (Finset.filter (fun (x : γ) => x ∈ Set.range f) s) fun (x : γ) => g x

theorem Finset.prod_preimage' {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type x} [CommMonoid β] (f : α → γ) [DecidablePred fun (x : γ) => x ∈ Set.range f] (s : Finset γ) (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) (g : γ → β) : (Finset.prod (Finset.preimage s f hf) fun (x : α) => g (f x)) = Finset.prod (Finset.filter (fun (x : γ) => x ∈ Set.range f) s) fun (x : γ) => g x

theorem Finset.sum_preimage {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type x} [AddCommMonoid β] (f : α → γ) (s : Finset γ) (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) (g : γ → β) (hg : ∀ x ∈ s, x ∉ Set.range f → g x = 0) : (Finset.sum (Finset.preimage s f hf) fun (x : α) => g (f x)) = Finset.sum s fun (x : γ) => g x

theorem Finset.prod_preimage {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type x} [CommMonoid β] (f : α → γ) (s : Finset γ) (hf : Set.InjOn f (f ⁻¹' ↑s)) (g : γ → β) (hg : ∀ x ∈ s, x ∉ Set.range f → g x = 1) : (Finset.prod (Finset.preimage s f hf) fun (x : α) => g (f x)) = Finset.prod s fun (x : γ) => g x

theorem Finset.sum_preimage_of_bij {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type x} [AddCommMonoid β] (f : α → γ) (s : Finset γ) (hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s) (g : γ → β) : (Finset.sum (Finset.preimage s f ⋯) fun (x : α) => g (f x)) = Finset.sum s fun (x : γ) => g x

theorem Finset.prod_preimage_of_bij {α : Type u} {β : Type v} {γ : Type x} [CommMonoid β] (f : α → γ) (s : Finset γ) (hf : Set.BijOn f (f ⁻¹' ↑s) ↑s) (g : γ → β) : (Finset.prod (Finset.preimage s f ⋯) fun (x : α) => g (f x)) = Finset.prod s fun (x : γ) => g x