Dependencies

Zwei Mengen \(C\) und \(D\) heißen äquidekomponierbar, wenn \(C\) in endlich viele Teile zerlegt werden kann, welche durch Rotationen und Translationen zu \(D\) wieder zusammengefügt werden können.

Sei \(Y\) eine Menge und \(f:Y\rightarrow Y\) eine Funktion. Dann heißt ein Punkt \(y\in Y\) Fixpunkt, falls er die Gleichung \(f(y)=y\) erfüllt.

Eine freie Gruppe \(G\) ist eine Gruppe, in welcher zwei Wörter auf einer spezifischen Erzeugermenge unterschiedlich sind, außer ihre Gleichheit folgt aus den Gruppenaxiomen.

Unsere Rotationsmatrizen sind:

\(G\) bezeichnet die von \(A\) und \(B\) erzeugte Untergruppe.

Sei \(L=\{ (x,y,z):x²+y²+z²\leq 1\} \) die Einheitskugel. Wir definieren \(L'=L\backslash {(0,0,0)}\) als Einheitskugel ohne Mittelpunkt.

Bezeichne mit \(D\) die Menge aller Punkte in \(L'\), welche Fixpunkte der Rotationen in \(G\) sind.

\(M\) ist die Menge aller ausgwählten repräsentativen Punkte.

Zwei Punkte \(a\) und \(b\) gehören zum selben Orbit, genau dann, wenn ein \(\rho \) in \(G\) existiert, sodass \(\rho (a)=b\) gilt.

\(X=\bigcup \limits _{k=1}^{\infty }A^{-k}M\). \(X\) ist also die Menge aller Elemente von \(M\), welche ausschließlich aus Rotationen um \(A^{-1}\) bestehen.

\(P_1=S(A)M\cup M\cup X\)
\(P_2=S(A^{-1})M\backslash X\)
\(P_3=S(B)M\)
\(P_4=S(B^{-1})M\)

Die adjungierte 3x3 Matrix kann in einer bestimmten Form dargestellt werden...

\(L'\backslash D\) und \(L'\) sind Äquidekomponierbar

Wenn \(\rho : \mathbb {R}³\Rightarrow \mathbb {R}³\) ein Ausdruck in \(G\) der Länge \(n\) in reduzierter Form ist, dann ist \(\rho (0,1,0)\) von der folgenden Form, wobei \(a, b\) und \(c\) ganze Zahlen sind: \(\rho (0,1,0)=\frac{1}{3^n}(a\sqrt{2},b,c\sqrt{2})\).

Es gilt \(det A\neq 0\) und \(det B\neq 0\) und damit sind \(A\) und \(B\) invertierbar.

Die Menge der Repräsentativen Punkte ist abzählbar.

Die Rotationsachsen liegen auf abzählbar vielen Linien.

Ein Kreis ist äquidekomponierbar mit einem Kreis ohne einen bestimmten Punkt.

Die Menge aller Orbits ist abzählbar.

Jede Rotation in \(G\) hat genau eine Rotationsachse.

\(G\) ist abzählbar.

\(\nexists p,q\in \mathbb {Z} \sqrt{2}\cdot \frac{p}{q}=\pi \)

\(AP_2=P_2\cup P_3\cup P_4\) \(BP_4=P_1\cup P_2\cup P_4\)

\(L'\backslash D=P_1\cup AP_2\) \(L'\backslash D=P_3\cup BP_4\)

\(L'\backslash D=P_1\cup P_2\cup P_3\cup P_4\)

Eine Kugel ohne ihren Mittelpunkt ist äquidekomponierbar mit der vollständigen Kugel.

Wir können uns aus jedem Orbit einen repräsentativen Punkt auswählen.

Eine Kugel ist äquidekomponierbar mit zwei Kopien ihrer selbst.

Die von unseren konkreten Rotationen aus 1.1 erzeugte Untergruppe \(G\) ist eine freie Gruppe.