1 Freie Gruppe der Rotationen

1.1 Wahl der Rotationen und Zerlegung des Großteils der Kugel

Wir wählen konkret zwei Rotationen der Kugel, mit welchen wir die Zerlegung im Satz konstruieren werden.

Definition 1.1

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Unsere Rotationsmatrizen sind:

Lemma 1.2 Invertierbarkeit von A und B

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Es gilt $d e t A \neq 0$ und $d e t B \neq 0$ und damit sind $A$ und $B$ invertierbar.

Proof ▶

$A$ und $B$ erzeugen uns daher eine Untergruppe der Gruppe der invertierbaren $3 \times 3$ -Matrizen.

Definition 1.3

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$G$ bezeichnet die von $A$ und $B$ erzeugte Untergruppe.

Lemma 1.4

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Die adjungierte 3x3 Matrix kann in einer bestimmten Form dargestellt werden...

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Lemma 1.5 Konkrete darstellung der Drehungen

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Wenn $ρ : R ³ \Rightarrow R ³$ ein Ausdruck in $G$ der Länge $n$ in reduzierter Form ist, dann ist $ρ (0, 1, 0)$ von der folgenden Form, wobei $a, b$ und $c$ ganze Zahlen sind: $ρ (0, 1, 0) = \frac{1}{3^{n}} (a \sqrt{2}, b, c \sqrt{2})$ .

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Damit können wir zeigen, dass diese Untergruppe an Rotationen eine freie Gruppe in zwei Erzeugern ist.

Definition 1.6

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Eine freie Gruppe $G$ ist eine Gruppe, in welcher zwei Wörter auf einer spezifischen Erzeugermenge unterschiedlich sind, außer ihre Gleichheit folgt aus den Gruppenaxiomen.

Theorem 1.7

Die von unseren konkreten Rotationen aus 1.1 erzeugte Untergruppe $G$ ist eine freie Gruppe.

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