2 Verdoppeln einer Kugel

2.1 Kugel

Definition 2.1 Einheitskugel ohne Mittelpunkt

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Sei $L = {(x, y, z) : x ² + y ² + z ² \leq 1}$ die Einheitskugel. Wir definieren $L^{'} = L ∖ (0, 0, 0)$ als Einheitskugel ohne Mittelpunkt.

Definition 2.2 Orbit

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Zwei Punkte $a$ und $b$ gehören zum selben Orbit, genau dann, wenn ein $ρ$ in $G$ existiert, sodass $ρ (a) = b$ gilt.

Lemma 2.3 Abzählbarkeit aller Orbits

Die Menge aller Orbits ist abzählbar.

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Lemma 2.4 repräsentative Punkte

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Wir können uns aus jedem Orbit einen repräsentativen Punkt auswählen.

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Definition 2.5 Menge aller Repräsentanten

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$M$ ist die Menge aller ausgwählten repräsentativen Punkte.

Wir können nun jeden Punkt aus $L^{'}$ erreichen, indem wir eine Rotation aus $G$ auf ein bestimmtes Element in $M$ anwenden.

2.2 Ein Teil der Einheitskugel duplizieren

Wir wollen aber, dass jeder Punkt aus $L^{'}$ nur von einer Rotation in $G$ erreicht wird. Daher zerlegen wir nun $L^{'}$ entsprechend der Rotationen, welche einen Punkt treffen. Ein Punkt, der von mehreren Rotationen getroffen wird, kann dabei in mehreren Mengen landen.

Definition 2.6 Fixpunkte

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Sei $Y$ eine Menge und $f : Y \to Y$ eine Funktion. Dann heißt ein Punkt $y \in Y$ Fixpunkt, falls er die Gleichung $f (y) = y$ erfüllt.

Definition 2.7 Menge aller Fixpunkte

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Bezeichne mit $D$ die Menge aller Punkte in $L^{'}$ , welche Fixpunkte der Rotationen in $G$ sind.

Lemma 2.8 Abzählbarkeit von G

$G$ ist abzählbar.

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Definition 2.9 Genau eine Rotationsachse

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Jede Rotation in $G$ hat genau eine Rotationsachse.

Lemma 2.10 Abzählbarkeit Rotationsachsen

Die Rotationsachsen liegen auf abzählbar vielen Linien.

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Daher kann fast jeder Punkt in $L^{'}$ durch eine bestimmte Rotation erreicht werden. Wir betrachten nun zunächst eine Zerlegung von $L^{'} ∖ D$ und kümmern uns später um die Fixpunkte.

Definition 2.11 Vereinigung X

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$X = ⋃_{k = 1}^{\infty} A^{- k} M$ . $X$ ist also die Menge aller Elemente von $M$ , welche ausschließlich aus Rotationen um $A^{- 1}$ bestehen.

Definition 2.12 Zerlegung in Mengen

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$P_{1} = S (A) M \cup M \cup X$
$P_{2} = S (A^{- 1}) M ∖ X$
$P_{3} = S (B) M$
$P_{4} = S (B^{- 1}) M$

Lemma 2.13 Vereinigung der Zerlegung

$L^{'} ∖ D = P_{1} \cup P_{2} \cup P_{3} \cup P_{4}$

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Lemma 2.14 Drehung zerlegte Mengen

$A P_{2} = P_{2} \cup P_{3} \cup P_{4}$ $B P_{4} = P_{1} \cup P_{2} \cup P_{4}$

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Lemma 2.15 Verdopplung L’
D

$L^{'} ∖ D = P_{1} \cup A P_{2}$ $L^{'} ∖ D = P_{3} \cup B P_{4}$

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Lemma 2.16 Abzählbarkeit der repräsentativen Punkte

Die Menge der Repräsentativen Punkte ist abzählbar.

Proof ▶

Nun haben wir eine Zerlegung, welche uns erlaubt, die Kugel bis auf ihren Mittelpunkt und den Punkte auf den Rotationsachsen zu duplizieren.

2.3 Fixpunkte und der Mittelpunkt

Definition 2.17 Äquidekomponierbar

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Zwei Mengen $C$ und $D$ heißen äquidekomponierbar, wenn $C$ in endlich viele Teile zerlegt werden kann, welche durch Rotationen und Translationen zu $D$ wieder zusammengefügt werden können.

Lemma 2.18 Äquidekomponierbarkeit von L’
D und L’

$L^{'} ∖ D$ und $L^{'}$ sind Äquidekomponierbar

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Da die Punkte in $D$ auf abzählbar vielen Achsen liegen, kann man eine Linie $l$ durch den Ursprung finden, die $D$ nicht durchläuft. Außerdem gibt es einen Winkel $θ$ , sodass eine Drehung um $θ$ um $l$ keinen Punkt in $D$ auf einen anderen Punkt in $D$ abbildet. Definiere $E = D \cup ρ (D) \cup ρ ² (D) \cup ρ ³ (D) \cup . . .$ . Es folgt sofort, dass $L^{'} = E \cup (L^{'} ∖ E)$ , was äquidekomponierbar mit $ρ (E) \cup (L^{'} ∖ E)$ ist. Aus der Definition von $E$ folgt, dass $ρ (E) = E ∖ D$ also gilt $ρ (E) \cup (L^{'} ∖ E) = (E ∖ D) \cup (L^{'} ∖ E) = L^{'} ∖ D$ . Daher folgt, dass $L^{'}$ mit $L^{'} ∖ D$ äquidekomponierbar ist.

Da wir nun wissen, dass $L^{'} ∖ D$ mit $L^{'}$ äquidekomponierbar ist, sind die Fixpunkte der Rotationen in $G$ kein Problem mehr. Daher kümmern wir uns nun um den Mittelpunkt.

Lemma 2.19 Pi und Wurzel 2 haben kein gemeinsames vielfaches

$∄ p, q \in Z \sqrt{2} \cdot \frac{p}{q} = π$

Proof ▶

Angenommen es gäbe $p, q \in Z$ mit $\sqrt{2} \cdot \frac{p}{q} = π$ . Nach Definition von $\cos^{- 1}$ auf dem Intervall $[0; 2 π)$ gilt $\cos^{- 1} (- 1) = π$ und damit wäre $\cos^{- 1} (- 1) = \sqrt{2} \cdot \frac{p}{q}$ . Dies ist äquivalent zu $- 1 = \cos (\sqrt{2} \cdot \frac{p}{q})$ . Mit der Taylorreihe des cosinus würde $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} (2 \cdot \frac{p^{2}}{q^{2}})^{n} = - 1$ gelten. Es gilt:
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{(2 n)!} (2 \cdot \frac{p^{2}}{q^{2}})^{n} = - 1$ $\Leftrightarrow \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 \cdot \frac{p^{2}}{q^{2}})^{2 n}}{(2 n)!} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2 \cdot \frac{p^{2}}{q^{2}})^{2 n + 1}}{(2 n)!}$

Lemma 2.20 Äquidekomponierbarkeit Kreis

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Ein Kreis ist äquidekomponierbar mit einem Kreis ohne einen bestimmten Punkt.

Proof ▶

Wir kümmern uns um den Einheitskreis $S ¹ = {(x, y) : x ² + y ² = 1}$ ohne $(1, 0)$ . Wir verwenden den Einheitskreis, um die Notation einfacher zu halten; das folgende Argument kann aber auf jeden beliebigen Kreis übertragen werden. Sei weiter $A = {(c o s n, s i n n) : n \in Z}$ . Da $π$ irrational ist, gilt $(c o s n, s i n n) \neq (c o s m, s i n m)$ für alle $n, m \in Z$ mit $n \neq m$ . Daher ist $A$ abzählbar unendlich und enthält $(1, 0)$ nicht. Sei $B = (S ¹ ∖ {(1, 0)}) ∖ A$ . Rotiere nun $A$ um den Ursprung um $- 1$ Einheiten. Bezeichne diese gedrehte Menge mit $A^{'}$ . Diese Rotation bildet $(c o s 1, s i n 1)$ auf $(1, 0)$ ab, was gerade unserem fehlenden Punkt entspricht. Da jeder Punkt in $A$ eine Einheit neben den Punkten aus $A^{'}$ liegt und $A$ abzählbar unendlich ist, liegt jeder Punkt, der ursprünglich in $A$ war auch in $A^{'}$ . Daraus folgt $A^{'} = A \cup {(1, 0)}$ und daher ist $S ¹ ∖ {(1, 0)} = A \cup B$ äquidekomponierbar mit $A^{'} \cup B = S ¹$ .

Lemma 2.21 Äquidekomponierbarkeit Subset

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Proof ▶

Theorem 2.22 Äquidekomponierbarkeit Kugel

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Eine Kugel ohne ihren Mittelpunkt ist äquidekomponierbar mit der vollständigen Kugel.

Proof ▶

2.4 Der endgültige Beweis

Nachdem wir die notwendigen Details zusammen haben, können wir nun das gesamte Paradoxon zeigen.

Theorem 2.23 Banach-Tarski

Eine Kugel ist äquidekomponierbar mit zwei Kopien ihrer selbst.

Proof ▶